Question

F1、F2为椭圆x^2/4+y^2/3=1的左右焦点，A为椭圆上任一点，过焦点F...

F1、F2为椭圆x^2/4+y^2/3=1的左右焦点，A为椭圆上任一点，过焦点F1向角F1AF2的角平分线做垂线，垂足为D，D的轨迹方程？

Answer 1

椭圆x^2/4+y^2/3=1的左右焦点为F1(-1,0),F2(1,0),设A(m,n),D(x,y）,则m^2/4+n^2/3=1,(1)由椭圆的光学性质,AD垂直于椭圆过A的切线l：mx/4+ny/3=1,∴AD的方程为nx/3-my/4-mn/12=0,即4nx-3my-mn=0,n=3my/(4x-m),(2)由AD⊥F1D得F1D∥l,∴F1D的斜率=y/(x+1）=-3m/(4n),(3)把（2）代入（3）,y/(x+1)=(m-4x）/(4y),m=4(x^2+y^2+x)/(x+1),(4)把（4）代入（2）,n=-3(x^2+y^2+x)/y,(5)把（4）,（5）代入（1）,4（x^2+y^2+x)^2/(x+1)^2+3(x^2+y^2+x)^2/y^2=1,(x^2+y^2+x)^2*[3(x+1)^2+4y^2]=(xy+y)^2.这就是点D的轨迹方程.