三棱锥p-abc中,pa⊥平面abc,m为ab中点
如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB=BC=CA=3,M为AB的中点,四点P、A、M、C都在球O的球面上.(1)证明:平面PAB⊥平面PCM;(2)证明...
如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB=BC=CA=3,M为AB的中点,四点P、A、M、C都在球O的球面上. (1)证明:平面PAB⊥平面PCM; (2)证明:线段PC的中点为球O的球心
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(1)证明:∵AC=BC,M为AB的中点,∴CM⊥AM.∵PA⊥平面ABC,CM⊂平面ABC,∴PA⊥CM. ∵AB∩PA=A,AB⊂平面PAB,PA⊂平面PAB, ∴CM⊥平面PAB. ∵CM⊂平面PCM, ∴平面PAB⊥平面PCM. (2)证明:由(1)知CM⊥平面PAB. ∵PM⊂平面PAB, ∴CM⊥PM. ∵PA⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,∴PA⊥AC.如图,,取PC的中点N,连结MN、AN.在Rt△PAC中,点N为斜边PC的中点, ∴AN=PN=NC.在Rt△PCM中,点N为斜边PC的中点, ∴MN=PN=NC. ∴PN=NC=AN=MN. ∴点N是球O的球心,即线段PC的中点为球O的球心. 略
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