Question

一个高数问题？

现在已经知道F(x)是一个常值函数，是不是一定要取x=0才能证原式是等于π/2?





Answer 1

证明：设α=arcsinx,(-π/2≤α≤π/2)
Sinα=x
β=arccosx,(0≤β≤π）cosβ=x.
-π≤-β≤0
-π/2≤π/2-β≤π/2
sin(π/2-β）=cosβ=x=sinα
即sin(π/2-β）=sinα
又y=sinx在（-π/2，π/2）上是单调的。
∴α=π/2-β
α+β=π/2
即arcsinx+arccosx=π/2

Answer 2

常值函数是其值域仅含一个元素的函数。即对该函数定义域中的一切x，都有f(x)=C，其中C是一个固定元素。故可以在定义域内任取一值，不一定要取x=0，比如取x=½√2也是可以的：
F(½√2)=arcsin(½√2)+arccos(½√2)=¼π+¼π=½π→C=½π

Answer 3

不是，和x等于多少没有关系。
常值函数的导函数为0，反过来也是，导函数为0的函数为常值函数
所以要证明恒等式成立只需要证明F(x)的导函数为0，而F(x)在x=±1处不可导，所以还需要证明F(1)=F(-1)=F(x)的其他任意一点，取x=0只是方便计算，你也可以取x=0.5，0.6，0.8