Question

证明级数的收敛若级数an（n从1到无穷）收敛,数列bn收敛,证明级数anbn（n...

证明级数的收敛 若级数an（n从1到无穷）收敛,数列bn收敛,证明级数anbn（n从1到无穷）收敛,提示说用柯西收敛准则,但我证不出来…… 用绝对收敛的我已经做过了，

Answer 1

这题明显少条件,如果bn是单调的就可以了.否则结论不成立.反例：an＝(－1)^n/n^(1/2),级数an收敛.bn＝(－1)^n/n^(1/2),数列bn收敛于0,但级数anbn＝级数1/n是发散的.题目条件等价于级数(bn－b(n－1))是绝对收敛的,这就足够了.证明得用到Abel分部求和公式：记a1+...+ak＝Sk,则a1b1+...+akbk＝Skbk－【S1(b1－b2)+S2(b2－b3)+...+S(k－1)(b(k－1)－bk)】
(*).注意到条件能得到Sk有极限,bk有极限,且由于Sk有极限故有界,因此级数(Sk(bk－b(k+1))是绝对收敛的当然也是收敛的,因此(*)式当k趋于无穷时是有极限的,即级数anbn是收敛的.ps:你可以自己用Cauchy收敛原理去证,当然还是得用上面的Abel分部求和.证明过程类似,不过注意到Sk不是从级数an的第一项开始相加了.自己试一下吧.