Question

已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点M（-1，0）．（Ⅰ）求抛物线...

已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点M（-1，0）． （Ⅰ）求抛物线的方程，并写出焦点坐标； （Ⅱ）是否存在过焦点的直线AB（直线与抛物线交于点A，B），使得三角形MAB的面积S△MAB=42？若存在，请求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点M（-1，0），
∴-p2=-1，
解得p=2，
∴抛物线方程为y2=4x，
抛物线焦点坐标为F（1，0）．…（4分）
（Ⅱ）解法一：由题意，设AB：x=ty+1，并与y2=4x联立，
得到方程：y2-4ty-4=0，…（6分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4t，y1•y2=-4．…（7分）
S△MAB=S△MAF+S△MBS
=12|MF|•（|y1|+|y2|），
∵y1•y2＜0，∴|y1|+|y2|=|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=4t2+1，…（9分）
又|MF|=2，∴S△MAB=12×2×4t2+1=42，…（10分）
解得t=±1，…（11分）
故直线AB的方程为：x=±y+1．
即x+y-1=0或x-y-1=0．…（12分）
（Ⅱ）解法二：当AB⊥x轴时，|AB|=2p=4，
S△MAB=12|MF|•|AB|=12×2×4=4，不符合题意．…（5分）
∴设AB：y=k（x-1）（k≠0），并与y2=4x联立，
得到方程：k2x2-（2k2+4）x+k2=0，…（6分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2k2+4k2，x1x2=1．…7分
|AB|=x1+x2+p=4(k2+1)k2，
点M到直线AB的距离为d=|k×(-1)-0-k|k2+1=2|k|k2+1，…（9分）
∴S△MAB=12|AB|•d
=12×4(k2+1)k2×2|k|k2+1
=4k2+1|k|=42，…（10分）
解得k=±1，…（11分）
故直线AB的方程为：y=±（x-1）．即x+y-1=0或x-y-1=0．…（12分）