Question

一道高中数学填空题求解答

已知f<X>=2x-1,g<x>=-2x,数列{an}(n∈正整数)的各项都为整数，其前n项和为sn,若点(a2n-1,a2n)【2n-1和2n都是下标】，在函数y=f<x>或y=g<X>的图线上，且当n为偶数时，an=n/2,则S80= 答案是820，求详解，O(∩_∩)O谢谢

Answer 1

已知f(x)=2x-1,g(x)=-2x,数列{a‹n›}(n∈正整数)的各项都为整数，其前n项和为s‹n›,若
点(a‹2n-1›,a‹2n›)在函数y=f(x)或y=g(X)的图线上，且当n为偶数时，a‹n›=n/2,则S₈₀=?
解:当n为偶数时，a‹n›=n/2;故a₂=1;a₄=2;a₆=3;a₈=4;......;a‹2n›=2n/2=n。
现在的关键是要确定奇数项a₁，a₃，a₅，a₇，........，各是多少?
为此要注意两点:①{a‹n›}的各项都为整数;②点(a‹2n-1›,a‹2n›)在函数y=f(x)或y=g(X)的图线上;
点(a₁，a₂)=(a₁，1)是在f(x)的图像上，还是在g(x)的图像上呢?
若在g(x)的图像上，则有1=-2a₁，得a₁=-1/2，不是整数;若在f(x)的图像上，则有1=2a₁-1，得a₁=1，故点(a₁，a₂)在f(x)的图像上。即a₁=1;
再看点(a₃，a₄)=(a₃，2)，用同样的方法很快判定在g(x)的图像上，即有2=-2a₃，故a₃=-1;
(a₅，a₆)=(a₅，3)应在f(x)的图像上，因为3=2a₅-1，得a₅=2;
(a₇，a₈)=(a₇，4)应在g(x)的图像上，因为4=-2a₇，得a₇=-2;
(a₉，a₁₀)=(a₉，5)应在f(x)的图像上，因为5=2a₉-1，得a₉=3;
(a₁₁，a₁₂)=(a₁₁，a₁₂)应在g(x)的图像上，因为6=-2a₁₁，得a₁₁=-3;
其规律是:a‹4n-3›=n;a‹4n-1›=-n.(n=1，2，3，....20)
即a₁=1，a₃=-1，a₅=2，a₇=-2，a₉=3，a₁₁=-3，........;a₇₇=20;a₇₉=-20.
故S₈₀=(a₁+a₃+a₅+a₇+.....+a₇₇+a₇₉)+(a₂+a₄+a₆+a₈+......+a₈₀)
=(1-1+2-2+3-3+....+20-20)+(1+2+3+4+.....+40)=(1+40)×40/2=820.