Question

在数列{an}中，a1=1，a2=14，且an+1=(n-1...

在数列{an}中，a1=1，a2=14，且an+1=(n-1)ann-an（n≥2）． （Ⅰ）求a3、a4，猜想an的表达式，并加以证明； （Ⅱ）设bn=1√1an+√1an+1，求证：对任意的自然数n∈N*都有b1+b2+…+bn＜√n3．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵数列{an}中，a1=1，a2=14，且an+1=(n-1)ann-an（n≥2），
∴a3=(2-1)a22-a2=142-14=17，同理可求a4=110，
故可以猜测an=13n-2…（2分）
下面用数学归纳法证明：显然当n=1时，结论成立．…（3分）
假设当n=k（k≥1）时结论成立，即ak=13k-2，
当n=k+1时，ak+1=(k-1)akk-ak=k-13k2-2k-1=13(k+1)-2…（5分）
即当n=k+1时，结论也成立，综合可得an=13n-2成立．…（6分）
（Ⅱ）证明：∵bn=1√3n+1+√3n-2=13(√3n+1-√3n-2)，…（8分）
∴b1+b2+…+bn=13[(√4-1)+(√7-√4)+…+(√3n+1-√3n-2)]=13(√3n+1-1)=13(√3n+1-1)，
要证b1+b2+…+bn＜√n3成立，
只需证明13(√3n+1-1)＜√n3，即证√3n+1＜√3n+1，…（10分）
即证3n+1＜3n+2√3n+1，即证2√3n＞0，该式显然成立，故结论得证．…（12分）