Question

定积分，请问这道题怎么做？

Answer 1

首先，被积函数 sinx/(1+x^2)显然为奇函数，而积分区间(-1,1)为对称区间，根据积分的“奇零偶倍”的性质，显然
∫(-1,1) sinx/(1+x^2)dx=0
所以原式=
∫(-1,1) (arctanx)^2/(1+x^2)dx
被积函数为偶函数，所以，原积分
=2∫(0,1) (arctanx)^2/(1+x^2)dx
=2∫(0,1) (arctanx)^2d(arctanx)
=2/3(arctanx)^3｜(0,1)
=π^3/96

Answer 2

因为sinx/(1+x^2)是奇函数，所以它在(-1,1)上的定积分为0
原来定积分=∫(-1,1) (arctanx)^2/(1+x^2)dx
=∫(-1,1) (arctanx)^2darctanx
=(arctanx)^3/3|(-1,1)
=2(pi/4)^3

Answer 3

被积函数是奇函数时，其在对称区间上的积分为零。
详情如图所示:

追答

供参考，请笑纳。