Question

1/根号(x2-1) 的不定积分怎么求？

Answer 1

方法步骤：

∫√(x^2+1)dx＝∫√(tan^2t+1)/cos^2tdt＝∫1/cos^3tdt

＝∫[1/(cosx)^3]dx=∫secxd(tanx)=secxtanx-∫tanxd(secx)

=secxtanx-∫(tanx)^2secxdx=secxtanx-∫((secx)^2-1)secxdx

=secxtanx-∫(secx)^3dx+∫secxdx

=secxtanx+ln|secx+tanx|-∫[1/(cosx)^3]dx∴2∫[1/(cosx)^3]dx

=secxtanx+ln|secx+tanx|+C1

即∫[1/(cosx)^3]dx=（1/2）·(secxtanx+ln|secx+tanx|)+C

所以原积分＝（1/2）·(secxtanx+ln|secx+tanx|)+C

dx/(x2根号(x2-1))不定积分：

取x=sect(t在第一象限）

原式=∫costdt=sint+C=1/sqrt(1-1/x^2)+C

若t在第二象限

原式=-∫costdt=-sint+C=-1/sqrt(1-1/x^2)+C

求不定积分1/x^2*根号下(x^2-1)：

令x=secz,dx=secztanz dz,(暂时不讨论角度z的范围)

√(x²-1)=√(sec²z-1)=√tan²z=tanz

tanz=√(x²-1)/1

sinz=√(x²-1)/√[1²+√(x²-1)²]=√(x²-1) / x

∫1/[x²√(x²-1)] dx

=∫1/(sec²z*tanz) * secztanz dz

=∫1/secz dz

=∫cosz dz

=sinz + C

=√(x²-1) / x + C