Question

已知x的平方减3x加一等于零,求（x的四次方加x的平方加一）分之一的值

Answer 1

x^2-3x+1=0，x+1/x=3(一次项移到右边，再两边除以x),  处理二次

(x+1/x)^2=9,  x^2+1/x^2=7 平方准备处理4次

x^4+1=7x^2 处理4次

x^4+x^2+1=8x^2 

1/(x^4+x^2+1)=1/(8x^2)=(1/8)*(1/x)^2

x^2-3x+1=0,   1-3(1/x)+(1/x)^2=0,   (1/x)^2=3(1/x)-1,   且 1/x=(3±√5)/2 

上面一步利用方程两根互为倒数，换元 y=1/x 后可化为整式，免除了分母有理化

解方程 1/x=… 是为了最后的代入

1/(x^4+x^2+1)=(1/8)*(1/x)^2=(1/8)*[3(1/x)-1]

=(1/8)*[3(3±√5)/2-1]=(7±3√5)/16

上面是原来的解法，是为题主不太懂的学子边解释边做的，下面是正式解题(红色是草稿)

此处：分母化为 8(3x-1) 强调正规通用有效，原解：分母直接化为 8x^2 着重技巧。

Answer 2

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