Question

求函数的极值和对应极值点

F(x,y)=x^3-yx^2+y^3-y当y>0时，求极值和对应极值点

Answer 1

五一快乐！    【下面是步骤。加粗是演算，不写在答卷上】

一、求一阶、二阶偏导： f'x(x,y)=3x²-2xy，f'y(x,y)=-x²+3y²-1，f"xx(x,y)=[f'x(x,y)]'=6x-y=A，f"xy(x,y)=f'y[f'x(x,y)]=f'y(3x²-2xy)=-2x=B，f"yy(x,y)=[f'y(x,y)]'=6y=C

二、令一阶偏导=0，解方程组求驻点： f'x(x,y)=3x²-2xy=0，f'y(x,y)=-x²+3y²-1=0 得到 两个驻点(-2/√23，-3/√23)和(2/√23，3/√23)【x，y分别是正、负根号23分之2与根号23分之3】

三、分别将驻点代入二阶偏导求，进行判定：【本题只求 y>0，则】

取驻点(2/√23，3/√23)，B²-AC=(-2×2/√23)²-(6×2/√23-3/√23)×(6×3/√23)=16/23-162/23=-146/23<0，知 

(2/√23，3/√23）为极小值点，

极小值 f(x,y)min=(2/√23)³-(2/√23)²×(3/√23)+(3/√23)³-3/√23

=1/√23-3/√23=-2/√23=-2√23/23【最后一步叫分母有理化】