Question

已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE．

（提示：在EA上截取EF=EB)

我的原图没有角1和角2

Answer 1

【证法1】

在EA上截取EF=EB，连接CF。

∵CE⊥AB，

∴CE垂直平分FB，

∴CF=CB（垂直平分线上的点到线段两端距离相等），

∴∠CFE=∠B，

∵∠CFE+∠AFC=180°，

  ∠B+∠D=180°，

∴∠AFC=∠D，

∵AC平分∠BAD，

∴∠FAC=∠DAC，

又∵AC=AC，

∴△AFC≌△ADC（AAS）

∴AF=AD，

∴AE=AF+EF=AD+BE。

【证法2】

过点C作CF⊥AD，交AD延长线于F。

∵CE⊥AB，

∴∠AEC=∠AFC=90°，

∵AC平分∠BAD，

∴∠EAC=∠FAC，

又∵AC=AC，

∴△AEC≌△AFC（AAS），

∴AE=AF，CE=CF，

∵∠B+∠ADC=180°，∠CDF+∠ADC=180°，

∴∠B=∠CDF，

又∵∠CEB=∠CFD=90°，CE=CF，

∴△CEB≌△CFD（AAS），

∴BE=DF，

∴AE=AF=AD+DF=AD+BE。