已知:如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,且∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE.

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我的原图没有角1和角2
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【证法1】

在EA上截取EF=EB,连接CF。

∵CE⊥AB,

∴CE垂直平分FB,

∴CF=CB(垂直平分线上的点到线段两端距离相等),

∴∠CFE=∠B,

∵∠CFE+∠AFC=180°,

  ∠B+∠D=180°,

∴∠AFC=∠D,

∵AC平分∠BAD,

∴∠FAC=∠DAC,

又∵AC=AC,

∴△AFC≌△ADC(AAS)

∴AF=AD,

∴AE=AF+EF=AD+BE。

【证法2】

过点C作CF⊥AD,交AD延长线于F。

∵CE⊥AB,

∴∠AEC=∠AFC=90°,

∵AC平分∠BAD,

∴∠EAC=∠FAC,

又∵AC=AC,

∴△AEC≌△AFC(AAS),

∴AE=AF,CE=CF,

∵∠B+∠ADC=180°,∠CDF+∠ADC=180°,

∴∠B=∠CDF,

又∵∠CEB=∠CFD=90°,CE=CF,

∴△CEB≌△CFD(AAS),

∴BE=DF,

∴AE=AF=AD+DF=AD+BE。

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