Question

求函数f(x,y)=[(1-y)^2+(1-x)^2]^0.5在条件x^2+y^2+xy=3下的最大值

Answer 1

由x^2+y^2+xy=3得
3(x+y)^2+(x-y)^2=12
设x+y=2m,x-y=2n
则 x=m+n,y=m-n
且 3m^2+n^2=3 （1）
f(x,y)=[(m-n-1)^2+(m+n-1)^2]^0.5
=[2(m-1)^2+2n^2]^0.5
设2(m-1)^2+2n^2=t （2）
由(1)(2)消去n并化简得
4m^2+4m+t-8=0
有△=16-16(t-8)≥0
解得 t≤9
f(x,y)=[2(m-1)^2+2n^2]^0.5=t^0.5≤3
且当m=-1/2,n=3/2或m=-1/2,n=-3/2
即x=1,y=-2或x=-2,y=-1时取“=”
所以 f(x,y)的最大值是3，且当x=1,y=-2或x=-2,y=-1时取到.

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