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如下图所示，就是基本的反函数的概念题，中间需要一些运算技巧:
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y=ln[x+√(1+x^2)]
e^y = x+√(1+x^2) (1)
-y
=-ln[x+√(1+x^2)]
=ln{1/[x+√(1+x^2)]}
=ln[x-√(1+x^2)]
e^(-y) = x-√(1+x^2) (2)
(1) +(2)
e^y + e^(-y) = 2x
x =(1/2)[ e^y + e^(-y) ]
反函数
y=(1/2)[ e^x + e^(-x) ]
e^y = x+√(1+x^2) (1)
-y
=-ln[x+√(1+x^2)]
=ln{1/[x+√(1+x^2)]}
=ln[x-√(1+x^2)]
e^(-y) = x-√(1+x^2) (2)
(1) +(2)
e^y + e^(-y) = 2x
x =(1/2)[ e^y + e^(-y) ]
反函数
y=(1/2)[ e^x + e^(-x) ]
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两边取负，则
-y=-ln(x+√(1+x²))=ln(1/(x+√(1+x²)))
对真数，分母有理化，
上下同乘以√(1+x²)-x
=1/(x+√(1+x²))=√(1+x²)-x
则由已知可知，
eʸ=x+√(1+x²)
e⁻ʸ=√(1+x²)-x
两式相减，
2x=eʸ-e⁻ʸ
则x=(eʸ-e⁻ʸ)/2
所以，其反函数为：
y=(eˣ-e⁻ˣ)/2
-y=-ln(x+√(1+x²))=ln(1/(x+√(1+x²)))
对真数，分母有理化，
上下同乘以√(1+x²)-x
=1/(x+√(1+x²))=√(1+x²)-x
则由已知可知，
eʸ=x+√(1+x²)
e⁻ʸ=√(1+x²)-x
两式相减，
2x=eʸ-e⁻ʸ
则x=(eʸ-e⁻ʸ)/2
所以，其反函数为：
y=(eˣ-e⁻ˣ)/2
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