Question

高数，三角函数定积分求解

和答案差了个正负号，我这样做是哪一步有问题呢？求教

Answer 1

你的问题是因为同乘以了secx^2。这个包含x的式子，在积分区域上存在x=π/2时不连续，所以你改变了被积函数的连续性，答案不对也就正常了。需要注意的是不是不能分子分母同乘以包含x的式子，但是不能改变原被积函数的连续性。
另外，本题正确的方法应该是设u=cosx，然后直接把du=-sinxdx带入直接就出现1/(1+u^2)的常见被积函数形式。你的方法第一画蛇添足，第二还改变了积分区域的连续性。多练习练习就好。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

不必那么繁琐，可以：
I = -∫<0, π>dcosx/[1+(cosx)^2]
= - [arctan(cosx)]<0, π> = -(-π/4-π/4) = π/2。
按你作法，因 secx 在 x =π/2 时无意义，应将积分区间分为两段
I = ∫<0, (π/2)->sinxdx/[1+(cosx)^2] + ∫<(π/2)+, π>sinxdx/[1+(cosx)^2]
= ∫<0, (π/2)->tanxsecxdx/[(secx)^2+1] + ∫<(π/2)+, π>tanxsecxdx/[(secx)^2+1]
= ∫<0, (π/2)->dsecx/[(secx)^2+1] + ∫<(π/2)+, π>dsecx/[(secx)^2+1]
= [arctan(secx)]<0, (π/2)-> + [arctan(secx)]<(π/2)+, π>
= π/2 - π/4 + (-π/4) + π/2 = π/2

追问

嗯嗯，我知道这样是对的，但能麻烦看下我那么做哪里错了吗，我觉得那样做也行，但是就是算出来个错误的数

追答

见解答补充。

Answer 4

secx在x=pi/2时不可导，你这种求解需要secx在被积区间可导

Answer 5

∫(0->π) sinx/(1+(cosx)^2) dx
=-∫(0->π) dcosx/(1+(cosx)^2)
=-[arctan(cosx)]|(0->π)
=-( arctan(-1)-arctan(1) )
=π/2