Question

三角形ABC中,已知csinC=asinA+bsinB,判断三角形形状

Answer 1

asinA+bsinB=csinC,
由正弦定理可得,sin?A+sin?B=sin?C
即,
sin?A=sin?C-sin?B=(sinC+sinB)(sinC-sinB),
而
sinC+sinB=2sin[(C+B)/2]cos[(C-B)/2],
sinC-sinB=2cos[(C+B)/2]sin[(C-B)/2],
sin?A=[2sin(A/2)cos(A/2)]?
A+B+C=π,
A/2=[π-(C+B)]/2=π/2 -(C+B)/2,
即有
sin(A/2)=sin[90-(C+B)/2]=cos[(C+B)/2],
cos(A/2)=cos[(90-(C+B)/2]=sin[(C+B)/2],
所以可得
2cos(A/2)sin(A/2)=2cos[(C-B)/2]sin[(C-B)/2],
即,sinA=sin(C-B),
sinA-sin(C-B)=0,
2cos[(A+C-B)/2]sin[(A+B-C)/2]=0,
所以,cos[(A+C-B)/2]=0,
或,sin[(A+B-C)/2]=0,
因为,cos[(A+C-B)/2]=cos(π/2 -B)=sinB
而B≠0
所以,cos[(A+C-B)/2]≠0
即,sin[(A+B-C)/2]=0,
所以,sin[(A+B-C)/2]=sin(π/2 -C)=cosC=0
C＝π/2
所以,三角形ABC为直角三角形.请点击“采纳为答案”