Question

X趋近于0求极限 lim [（1^x+2^x+4^x)/3 ]^(1/x)

Answer 1

设 y = [(1 + 2^x + 4^x)/3]^(1/x),则有：
lny = (1/x) *[ln(1+2^x+4^x) - ln3] = [ln(1+2^x+4^x) -ln3]/x
lim(lny) =lim[ln(1+2^x+4^x) -ln3]/x 注：这是一个0/0 型的极限,可以应用罗必塔法则
=lim[(0+ln2*2^x +ln4*4^x)/(1+2^x+4^x)]/1
=lim(ln2*2^0 + ln4*4^0)/(1+2^0 + 4^0)
=(ln2 + ln4)/3
=(ln2 + 2ln2)/3
=ln2
既然 lny 的极限等于 ln2,则 y 的极限就等于 2.
我刚才用计算器验证了一下,当 x = 0.00001时,y ∽2.000003202265761.答案应该是没错的.