被积函数连续 变上限函数可导 怎么证明
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被积函数的原函数写为
F(x)=∫(下限为a 上限为x)f(x)dx
F(x+Δx)-F(x)
=∫(下限为a 上限为x+Δx)f(x)dx-∫(下限为a 上限为x)f(x)dx
=∫(下限为x 上限为x+Δx)f(x)dx
[积分中值定理 η在a和x之间]
=f(η)∫(下限为x 上限为x+Δx)dx
=f(η)Δx
当Δx→0 η→x
lim(F(x+Δx)-F(x))/Δx
=limf(η)
[由f(x)的连续性]
=f(x)
F(x)=∫(下限为a 上限为x)f(x)dx
F(x+Δx)-F(x)
=∫(下限为a 上限为x+Δx)f(x)dx-∫(下限为a 上限为x)f(x)dx
=∫(下限为x 上限为x+Δx)f(x)dx
[积分中值定理 η在a和x之间]
=f(η)∫(下限为x 上限为x+Δx)dx
=f(η)Δx
当Δx→0 η→x
lim(F(x+Δx)-F(x))/Δx
=limf(η)
[由f(x)的连续性]
=f(x)
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