Question

矩阵的秩为什么等于其转置的秩？

Answer 1

原因如下：

设 A是 m×n 的矩阵，可以通过证明 Ax=0 和A'Ax=0 两个n元齐次方程同解证得 r(A'A)=r(A)。

1、Ax=0 肯定是 A'Ax=0 的解，好理解。

2、A'Ax=0 → x'A'Ax=0 → (Ax)' Ax=0 →Ax=0。

故两个方程是同解的。

同理可得 r(AA')=r(A')。

另外 有 r(A)=r(A')。

所以综上 r(A)=r(A')=r(AA')=r(A'A)。

矩阵的秩不等式

(1)矩阵A的秩等于矩阵A的转置的秩，也即矩阵的行秩=列秩。

证明思路：一个矩阵经过一系列初等变换，都可以对应到一个标准型，而标准型的非零行数就是矩阵的秩。又因为矩阵的标准型是唯一的，所以矩阵的行秩与矩阵的列秩一定相等。

(2)矩阵A的秩等于矩阵A转置乘矩阵A的秩。

证明思路：分别构造构造齐次的线性方程组，Ax=0与A转置乘Ax=0同解。因为可以使用前面一个方程式子推到后面一个方程式，反之，倒过来也成立。两个方程组同解，故秩相等，即得到证明。

Answer 2

通过初等变换可以证明它行秩和列秩一样，转置不会影响秩