Question

求解答 高等数学问题

以下函数无界的定义怎么理解
任意M＞0 存在x0属于定义域I f（x0）的绝对值大于M
解释越具体越好 感谢

Answer 1

这是对无界给出严格的定义。通俗说，就是不管你给我一个多大的正数M，我都可以在定义域中（或者某个邻域中）找到一点x₀，这点的函数值f(x₀)大于你给的数M, 这样f(x)在定义域（或者某个邻域）中就是无界了。这里"不管多大的M",就是说M必须是任意的，而不是给定的一个或几个；“在定义域中都可以找到一个x₀”这个x₀与所给M有关，随M的变化而可能变化，不唯一，只要能找到一个就可以了。
例如，f(x)=1/x, 无论你给多大的M, 我都可以找到一个x₀（只要取0<x₀<1/M）, f(x₀)=1/x₀>M, 从而f(x)=1/x在定义域中无界。

Answer 2

就是说，你任意给一个值M,只要找到一个x0的值,使得 f(x0)>M,那么f(x)就是无界的
举个例子， f(x)=xsinx
给M=10^10000000000,这个数很大了吧。我只要取 x0=(10^10000000000+π/2)
那么f(x0)=(10^10000000000+π/2)*sin((10^10000000000+π/2))=(10^10000000000+π/2)>M
所以 f(x)=xsinx是无界的。
你无论取M是多大，我都可以找一个x，让f(x)>M
那这样，f(x)肯定可以到无穷大，所以是无界的