Question

高数求极限

想问下这道题除了积分中值定理。常规方法可以求解吗（洛必达、等价无穷小代换）半天算不出答案不知道错在哪。（答案是6分之根号3）

Answer 1

x->0
√(3+x^2) = √3.√(1+x^2/3) = √3. [ 1+ (1/6)x^2 +o(x^2) ]
sinx = x+o(x)
(sinx)^2 =x^2 +o(x^2)
√(3+(sinx)^2) =√(3+x^2+o(x^2)) = √3. [ 1+ (1/6)x^2 +o(x^2) ]
cosx.√(3+(sinx)^2)
=[ 1- (1/2)x^2) ].{ √3. [ 1+ (1/6)x^2 +o(x^2) ] }
= √3 [ 1 - (1/3)x^2 +o(x^2) ]
√(3+x^2) -cosx.√(3+(sinx)^2)
= √3. [ 1+ (1/6)x^2 +o(x^3) ] -√3 [ 1 - (1/3)x^2 +o(x^2) ]
= √3.(1/2)x^2 +o(x^2)
//
lim(x->0) ∫(sinx->x) √(3+t^2) dt/ [ x(e^(x^2)-1)]

等价无穷小
=lim(x->0) ∫(sinx->x) √(3+t^2) dt/ x^3
洛必达
=lim(x->0) [√(3+x^2) - cosx.√(3+(sinx)^2)]/ (3x^2)
=lim(x->0) √3.(1/2)x^2 / (3x^2)
=√3/6

Answer 2

根据定义直接带入数字求解。
【注意事项】:这类题太简单，一般很少。

sin(-+x)-1
例7:已知(sinx)=cosx，利用导数的定义求极限lim
I0

sin(-+x)-sin-
解:原式=lim- I0 X =(sin x)|=cos-=+
Baid

2/7
根据极限的四则运算法则进行转换。
【注意事项】:这个很容易，但是公式不能记错

例 6: lim√x+1-3x
x+sin x
解: 式=lim +1 3lim
xwx+sinx x心x+snx
=1im sin x 3lim sinx -1-3=-2.对式子进行化简，然后再求极限。
[注意事项】:牢记几个公式，包括三次方的拆解公式
lim √3x+1-2
例 1 x1 x-1
lim(√3x+1)2-2²= lim3x-3_3解:原式-(x-1)(√3x+1+2) (x-1)(√3x+1+2)4注:本题也可以用洛比达法则。
例2 lim√n(√n+2-√n-1)
√n[(n+2)-(n-1)I 分于分母同除以
lim lim
√n+2+√n-1
解:原式=

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牢记几个重要极限，可以更快速解题。
【注意事项】;通常需要进行变换，注意不要出错。
sin X
(1) lim- x0X=1
(2) x0 lim(1+x)x=e lim(1+1)* = e

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利用等价无穷小进行解答。
【注意事项】:一般用于乘除运算，不用于加减运算
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利用次必达注则解[注意事项】:法则使用条件:极限是否为“00”型或“ ”型

1-cosx lim
例120 3x (例 4)
sin x 1 lim
解:原式=x06x 6。(最后一步用到了重要极限)

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两边夹法则
一般用于数列类求解。

注意事项
大体就这几种方法，可以补充。

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