Question

如图抛物线y=ax²+bx-4a经过A（-1，0）C（0,4）两点与x轴交于另一点b

如图抛物线y=ax²+bx-4a经过A（-1，0）C（0,4）两点与x轴交于另一点b
①求抛物线解析式
②已知D（M,M+1）在第一象限的抛物线上，求点d关于直线bc对称点的坐标
③在②条件下，连接bd，点p为抛物线上一点，且角DBP=45°求点p坐标
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这是图

Answer 1

①∵抛物线y=ax²+bx-4a经过A（-1，0）C（0,4）
∴把A点坐标代入抛物线方程得关于a、b的方程组：
a-b-4a=0
-4a=4
解得：a=-1，b=3
∴抛物线解析式为y=-x²+3x+4
②∵D（M,M+1）在第一象限的抛物线上
∴M+1=-M²+3M+4（M>0）
解得M=3 ∴D(3，4)
∵抛物线与x轴交于另一点B
∴B（4，0）∴直线BC方程：y=-x+4
∴点D关于直线BC对称点的坐标：（0，1）
③∴直线BD方程：y=-4x+16
∴由图：直线BD的倾斜角为π-arctan4
∴BP直线的倾斜角为：3/4π-arctan4
∴BP直线的方程为：y=5x/3-20/3
∴P（-8/3，-100/9）

Answer 2

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx-4a经过A（-1，0）、C（0，4）两点，
∴ a-b-4a=0 -4a=4 ，
解得 a=-1 b=3 ，
∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4；
（2）∵点D（m，m+1）在抛物线上，
∴m+1=-m2+3m+4，
即m2-2m-3=0
∴m=-1或m=3
∵点D在第一象限
∴点D的坐标为（3，4）
由（1）知OC=OB
∴∠CBA=45°
设点D关于直线BC的对称点为点E
∵C（0，4）
∴CD∥AB，且CD=3
∴∠ECB=∠DCB=45°
∴E点在y轴上，且CE=CD=3
∴OE=1
∴E（0，1）
即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）；

（3）方法一：作PF⊥AB于F，DE⊥BC于E，
由（1）有：OB=OC=4
∴∠OBC=45°
∵∠DBP=45°
∴∠CBD=∠PBA
∵C（0，4），D（3，4）
∴CD∥OB且CD=3
∴∠DCE=∠CBO=45°
∴DE=CE=3 2 2
∵OB=OC=4
∴BC=4 2
∴BE=BC-CE=5 2 2
∴tan∠PBF=tan∠CBD=DE BE =3 5
设PF=3t，则BF=5t，OF=5t-4
∴P（-5t+4，3t）
∵P点在抛物线上
∴3t=-（-5t+4）2+3（-5t+4）+4
∴t=0（舍去）或t=22 25
∴P（-2 5 ，66 25 ）；
方法二：过点D作BD的垂线交直线PB于点Q，过点D作DH⊥x轴于H，过Q点作QG⊥DH于G，
∵∠PBD=45°
∴QD=DB
∴∠QDG+∠BDH=90°
又∵∠DQG+∠QDG=90°
∴∠DQG=∠BDH
∴△QDG≌△DBH
∴QG=DH=4，DG=BH=1
由（2）知D（3，4）
∴Q（-1，3）
∵B（4，0）
∴直线BP的解析式为y=-3 5 x+12 5
解方程组 y=-x2+3x+4 y=-3 5 x+12 5
得 x1=4 y1=0 x2=-2 5 y2=66 25
∴点P的坐标为（-2 5 ，66 25 ）．

Answer 3

（1）把A点坐标代入抛物线得到y=-x²+3x+4；
（2）D（m,m+1）代入y=-x²+3x+4得到m=3（负值舍去），得D（3,4）
BC斜率为-1，又CD平行于x轴，所以D关于BC的对称点在y轴上，为（0，-1）；
（3）作DF垂直BC于F，直线BP交y轴于E，则三角形BDF与三角形BEO相似，计算可得DF、BF，它们之比为3:5，故OE：OB=3：5，得到OE=12/5，可得BP解析式为y=-3x/5+12/5,与抛物线联立可解得P坐标为（-2/5,66/25)

Answer 4

经过C（0，4）
a=-1
经过A（-1，0）
0=a-b-4a
b=-3a=3
抛物线的解析式
y=-x^2+3x+4
另一点B(4,0)
点D（m,m+1)在第一象限的抛物线上
m+1=-m^2+3m+4
m^2-2m-3=0
m=-1 (舍去) m=3
点D(3,4)
过D垂直BC的直线方程
y-4=x-3
BC的方程
y=4-x
垂足E(3/2,5/2)
点D关于直线BC的对称的点的坐标(X,Y)
x+3=3 x=0
y+4=5 y=1
对称的点的坐标(0,1)

DB的斜率=-4
设PB的斜率k
(k+4)/(1-4k)=tan45=1
k=-3/5
PB的方程
y=-3(x-4)/5 带入y=-x^2+3x+4
5x^2-18x-8=0
(x-4)(5x+2)=0
x=4 （B点）
x=-2/5
y=66/25

点P的坐标 (-2/5,66/25)

Answer 5

第二题可以这样：
∵点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，
∴把D的坐标代入（1）中的解析式得 ：
m+1=-m2+3m+4，
∴m=3或m=-1，
∴m=3，
∴D（3，4），
∵y=-x2+3x+4=0，x=-1或x=4，
∴B（4，0），
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠CBA=45°
设点D关于直线BC的对称点为点E
∵C（0，4）
∴CD∥AB，且CD=3
∴∠ECB=∠DCB=45°
∴E点在y轴上，且CE=CD=3
∴OE=1
∴E（0，1）
即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）；