Question

概率论和数理统计

Answer 1

1.事件的关系与运算

(1) 子事件： ，若 发生，则 发生。

(2) 相等事件： ，即 ，且 。

(3) 和事件： （或 ）， 与 中至少有一个发生。

(4) 差事件： ， 发生但 不发生。

(5) 积事件： （或 ）， 与 同时发生。

(6) 互斥事件（互不相容）： = 。

(7) 互逆事件（对立事件）：

2.运算律
(1) 交换律：
(2) 结合律：
(3) 分配律：

3.德 摩根律

4.完全事件组

两两互斥，且和事件为必然事件，即

5.概率的基本公式
(1)条件概率:
,表示 发生的条件下， 发生的概率。

(2)全概率公式：

(3) Bayes 公式：

注：上述公式中事件 的个数可为可列个。

(4)乘法公式：

6.事件的独立性

(1) 与 相互独立

(2) ， ， 两两独立
; ; ;

(3) ， ， 相互独立
; ;
;

7.独立重复试验

将某试验独立重复 次，若每次实验中事件 A 发生的概率为 ，则 次试验中 发生 次的概率为：

8.重要公式与结论

(5)条件概率 满足概率的所有性质，
例如：.

(6)若 相互独立，则

(7)互斥、互逆与独立性之间的关系：
与 互逆 与 互斥，但反之不成立， 与 互斥（或互逆）且均非零概率事件 与 不独立.

(8)若 相互独立，则 与 也相互独立，其中 分别表示对相应事件做任意事件运算后所得的事件，另外，概率为 1（或 0）的事件与任何事件相互独立.

1.随机变量及概率分布

取值带有随机性的变量，严格地说是定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量，概率分布通常指分布函数或分布律

2.分布函数的概念与性质

定义：

性质：(1)

(2) 单调不减

(3) 右连续

(4)

3.离散型随机变量的概率分布

4.连续型随机变量的概率密度

概率密度 ;非负可积，且:

(1)

(2)

(3) 为 的连续点，则:

分布函数

5.常见分布

(1) 0-1 分布:

(2) 二项分布: ：

(3) Poisson 分布: ：

(4) 均匀分布 ：

(5) 正态分布:

(6)指数分布:

(7)几何分布:

(8)超几何分布:

6.随机变量函数的概率分布

(1)离散型：

则:

(2)连续型：

则: ，

7.重要公式与结论

(1)

(2)

(3)

(4)

(5) 离散型随机变量的分布函数为阶梯间断函数；连续型随机变量的分布函数为连续函数，但不一定为处处可导函数。

(6) 存在既非离散也非连续型随机变量。

1.二维随机变量及其联合分布

由两个随机变量构成的随机向量 ， 联合分布为

2.二维离散型随机变量的分布

(1) 联合概率分布律

(2) 边缘分布律

(3) 条件分布律

3. 二维连续性随机变量的密度

(1) 联合概率密度

(2) 分布函数：

(3) 边缘概率密度：

(4) 条件概率密度：

4.常见二维随机变量的联合分布

(1) 二维均匀分布： ,

(2) 二维正态分布： ,

5.随机变量的独立性和相关性

和 的相互独立: :

（离散型）
（连续型）

和 的相关性：

相关系数 时，称 和 不相关，
否则称 和 相关

6.两个随机变量简单函数的概率分布

离散型： 则：

连续型：
则：

，

7.重要公式与结论

(1) 边缘密度公式：

(2)

(3) 若 服从二维正态分布
则有：

(4) 若 与 独立，且分别服从
则：

(5) 若 与 相互独立， 和 为连续函数， 则 和 也相互独立。

1.数学期望

离散型： ；

连续型：

性质：

(1)

(2)

(3) 若 和 独立，则

(4)

2.方差 ：

3.标准差 ： ，

4.离散型：

5.连续型：

性质：

(1)

(2) 与 相互独立，则

(3)

(4) 一般有

(5)

(6)

6.随机变量函数的数学期望

(1) 对于函数

为离散型： ；

为连续型：

(2) ; ; ;

7.协方差

8.相关系数

, 阶原点矩 ;
阶中心矩

性质：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5) ，其中