概率论和数理统计
1.事件的关系与运算
(1) 子事件： ，若 发生，则 发生。
(2) 相等事件： ，即 ，且 。
(3) 和事件： （或 ）， 与 中至少有一个发生。
(4) 差事件： ， 发生但 不发生。
(5) 积事件： （或 ）， 与 同时发生。
(6) 互斥事件（互不相容）： = 。
(7) 互逆事件（对立事件）：
2.运算律
(1) 交换律：
(2) 结合律：
(3) 分配律：
3.德 摩根律
4.完全事件组
两两互斥，且和事件为必然事件，即
5.概率的基本公式
(1)条件概率:
,表示 发生的条件下， 发生的概率。
(2)全概率公式：
(3) Bayes 公式：
注：上述公式中事件 的个数可为可列个。
(4)乘法公式：
6.事件的独立性
(1) 与 相互独立
(2) ， ， 两两独立
; ; ;
(3) ， ， 相互独立
; ;
;
7.独立重复试验
将某试验独立重复 次，若每次实验中事件 A 发生的概率为 ，则 次试验中 发生 次的概率为：
8.重要公式与结论
(5)条件概率 满足概率的所有性质，
例如：.
(6)若 相互独立，则
(7)互斥、互逆与独立性之间的关系：
与 互逆 与 互斥，但反之不成立， 与 互斥（或互逆）且均非零概率事件 与 不独立.
(8)若 相互独立，则 与 也相互独立，其中 分别表示对相应事件做任意事件运算后所得的事件，另外，概率为 1（或 0）的事件与任何事件相互独立.
1.随机变量及概率分布
取值带有随机性的变量，严格地说是定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量，概率分布通常指分布函数或分布律
2.分布函数的概念与性质
定义：
性质：(1)
(2) 单调不减
(3) 右连续
(4)
3.离散型随机变量的概率分布
4.连续型随机变量的概率密度
概率密度 ;非负可积，且:
(1)
(2)
(3) 为 的连续点，则:
分布函数
5.常见分布
(1) 0-1 分布:
(2) 二项分布: ：
(3) Poisson 分布: ：
(4) 均匀分布 ：
(5) 正态分布:
(6)指数分布:
(7)几何分布:
(8)超几何分布:
6.随机变量函数的概率分布
(1)离散型：
则:
(2)连续型：
则: ，
7.重要公式与结论
(1)
(2)
(3)
(4)
(5) 离散型随机变量的分布函数为阶梯间断函数；连续型随机变量的分布函数为连续函数，但不一定为处处可导函数。
(6) 存在既非离散也非连续型随机变量。
1.二维随机变量及其联合分布
由两个随机变量构成的随机向量 ， 联合分布为
2.二维离散型随机变量的分布
(1) 联合概率分布律
(2) 边缘分布律
(3) 条件分布律
3. 二维连续性随机变量的密度
(1) 联合概率密度
(2) 分布函数：
(3) 边缘概率密度：
(4) 条件概率密度：
4.常见二维随机变量的联合分布
(1) 二维均匀分布： ,
(2) 二维正态分布： ,
5.随机变量的独立性和相关性
和 的相互独立: :
（离散型）
（连续型）
和 的相关性：
相关系数 时，称 和 不相关，
否则称 和 相关
6.两个随机变量简单函数的概率分布
离散型： 则：
连续型：
则：
，
7.重要公式与结论
(1) 边缘密度公式：
(2)
(3) 若 服从二维正态分布
则有：
(4) 若 与 独立，且分别服从
则：
(5) 若 与 相互独立， 和 为连续函数， 则 和 也相互独立。
1.数学期望
离散型： ；
连续型：
性质：
(1)
(2)
(3) 若 和 独立，则
(4)
2.方差 ：
3.标准差 ： ，
4.离散型：
5.连续型：
性质：
(1)
(2) 与 相互独立，则
(3)
(4) 一般有
(5)
(6)
6.随机变量函数的数学期望
(1) 对于函数
为离散型： ；
为连续型：
(2) ; ; ;
7.协方差
8.相关系数
, 阶原点矩 ;
阶中心矩
性质：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5) ，其中
