Question

高三数学，三角函数

Answer 1

解：
(1)
由正弦定理得
√3sinCsinA=sinAcosC
sinA(cosC-√3sinC)=0
2sinA[(1/2)cosC-(√3/2)sinC]=0
2sinAcos(C+π/3)=0
A为三角形内角，sinA恒>0，因此只有cos(C+π/3)=0
C为三角形内角，0<C<π，π/3<C+π/3<4π/3，又cos(C+π/6)=0
因此C=π/6
(2)
C=π/3，sinC=√3/2，cosC=1/2
A=π-B-C<π-C=π-π/6=5π/6
√3cosA+cosB
=√3cosA-cos(A+C)
=√3cosA-cosAcosC+sinAsinC
=√3cosA-(√3/2)cosA+(1/2)sinA
=(√3/2)cosA+(1/2)sinA
=cos(A-π/6)
当cos(A-π/6)=1时，√3cosA+cosB有最大值1
A为三角形内角，0<A<π，-π/6<A-π/6<5π/6，又cos(A-π/6)=1
A=π/6=C
B=π-A-C=π-π/6-π/6=2π/3>π/2
三角形为等腰钝角三角形。