Question

微分方程-高阶线性方程

Answer 1

阶线性微分方程的一般形式为

这里假设系数 都在区间 上连续. 当 时方程（3.22）变为齐次线性微分方程

若令

则方程（3.22）可以转换成一阶线性微分方程组

其中

当 时，方程组（3.25）变为齐次线性微分方程组

显然，由方程（3.22）的任一解 可得到方程组（3.25）的一个解

反之，方程组（3.25）的任一解的第一个分量就是方程（3.22）的解. 特别地，方程（3.22）满足初值条件

的解在区间 上存在并且唯一.

考虑方程

它等价于方程组

这里 可以验证

为方程组（3.29）对应的齐次线性方程组的基解矩阵. 并且

利用常数变易公式可得方程组（3.29）的通解为

因此方程（3.28）的通解为

其中 为任意常数.

由于 阶线性微分方程（3.22）利用上述转化方式可变换为与之等价的一阶线性微分方程组（3.25），因此我们可以把前几节的主要结果平行地推广到方程（3.22）. 与方程组（3.25）相对应的，假设函数 是齐次线性微分方程（3.23）的 个解，我们称

为解组 的 Wronski 行列式. 齐次线性微分方程（3.23）的 个线性无关的解的全体称为该方程的一个基本解组. 利用关系式（3.24），我们可以把关于方程组（3.26）的定理自然转述到高次方程（3.23）上.

阶齐次线性微分方程（3.23）的解组 线性无关的充要条件是它的 Wronski 行列式 在区间 上恒不为零，而这等价于 在区间 的某点 处不为零，并且方程（3.23）的任一解组 的 Wronski 行列式满足 Liouville 公式

这里由于与方程（3.23）等价的方程组（3.26）中矩阵函数 的迹 ，因此由于关于方程组的 Liouville 公式（3.32），就可以求出方程（3.23）的通解.

设 是二阶齐次线性方程的

的一个非零解，其中 和 是 上的连续函数，则方程（3.33）的通解为

证明

为简便起见，假设 在区间 上恒不为零. 设 为方程（3.33）的任一解，则由 Liouville 公式（3.32）可得

亦即

上式两端同乘以积分因子 ，可得

积分上式，就可得公式（3.34）.

这个例子告诉我们一个利用 Liouville 公式降阶的方法. 一般地，如果事先能够知道齐次高阶方程（3.23）的一个非平凡解 ，即 ，我们还可以用变量替换 把方程化成关于函数 的低一阶的齐次线性微分方程. 事实上，对这个变量替换求导并带入（3.23），可得到形如

的方程，它一定有解 ，因此 是方程（3.23）的解. 由此推出， ，因此远方还曾可化为如下的 阶线性微分方程

根据非齐次线性方程组（3.25）与非齐次线性高阶微分方程（3.22）的关系，我们把非齐次线性微分方程的常数变易公式应用到方程（3.22）上，容易得到下面的结果.

设 是 阶齐次线性微分方程（3.23）在 上的一个基本解组，则非齐次线性微分方程（3.22）在 上的通解为

其中 为任意常数，而

是方程（3.22）的一个特解， 是解组 的 Wronski 行列式， 是 中第 行第 列元素的代数余子式.