Question

第一个do是助动词，第二个do在疑问句和否定句中不应该是动词原形吗，为什么变化了成doing？

Answer 1

前面的do是助动词，是和谓语动词like发生关系的，谓语动词like用了原形动词的形式，但like后面的do要发生变化，作宾语时，可以用动词不定式也可以用动名词。
在印欧语系的语言里，两个动词大多是不能放在一起作谓语的，如果你要把两个动词放在一起，要么用连接词，要么把后面一个动词作一定的变化。
德语中，两个动词连在一起，中间要用连词zu，我们把这叫做带zu的动词不定式。荷兰语也是这样，只是中间要加的连词是te。而俄语、波兰语中，两个动词连在一起，后一个动词用不定式形式，也就是不作任何变化，不需要发生变位。法语中，两个动词连在一起，中间要用de、a连接，有些动词后面的动词则直接用动词不定式来表示，不需要变位。

Answer 2

What do you like doing in summer?
这是一个特殊疑问句，要回答你的问题，先从句子的基本结构说起。
比如：I like swimming in summer.
在上述句子中，主 语是I，谓语动词是like，宾语是swimming，时间状语是in summer.
like后面可以用动词不定式，也可以用动名词作宾语，意思略有差别。

like doing sth表示喜欢做某事，常指长时间做的事。like to do sth 表示想去做某事，好像是要到某处去做某事。
本句描述的是夏季的习惯，用动名词比不定式更为合适。
以上解释了后面词为什么用动名词形式。
I like swimming in summer.
上面是个陈述句，要将其变为一般疑问句，因为谓语动词是实义动词like，主语是第三人称，句子时态是一般现在时，所以要在句首加Do，这个do是为了构成一般疑问句加的，是助动词，同时为了符合提问的习惯，将第一人称变为第三人称。
Do you like swimming in summer?
如果变成特殊疑问句，则特殊疑问句的构成可以视为特殊疑问词+一般疑问句
What do you like (swimming) in summer?
因为特殊疑问句是对宾语提问，这里swimming就不能出现了，而根据上面的分析，句子中谓语动词like后面要跟一个动名词，所以用动词do的动名词形式doing替代未知的动作。这里doing作like的宾语，是动名词。

Answer 3

What do you like doing in summer?
在这个句子里， do是疑问句的助动词， 因为是是第二人称， 用do。
后面的doing 是现在分词做谓语的宾语。
在like 做谓语时， 后面常常用现在分词， 例如：
I like playing basketball;
He likes drawing.
She likes shopping.