Question

大学数学分析题，求解答！

Answer 1

首先由于这个函数单调递增，所以间断点只有跳跃间断点，并且至多可数个，所以可以把[a,b]划分成可数个区间（可能是左开右闭，也可能左闭右开，也可能左开右开，左闭右闭），我们称这些区间为连续区间，函数f在这些连续区间上都是连续函数。

假设不存在[a,b]中的点x使得f(x)=x，则f(a)>a,f(b)<b。
设a0=a,b0=b.取a0与b0的中点c，由于不存在[a,b]中的点x使得f(x)=x，所以f(c)>c或者f(c)<c,若为前者，设a1=a,b1=c,将[a1,b1]作为现在的区间继续取中点；若为后者，设a1=c,b1=b，将[c,b]作为现在的区间继续取中点。
然后一直这样取中点确定区间，规则就是保证区间的左端点an处满足f(an)>an且右端点bn处满足f(bn)<bn
一直这样取下去得到区间[an,bn]，每次取的区间的宽度都是上次的一半，
且a0≤a1≤a2≤...≤an≤......≤bn≤b(n-1)≤...≤b1≤b0
一直进行下去这个区间的左右端点都会收敛到同一个x0。
i)若x0不是间断点，则x0必在最开始所说的某个连续区间内部，这样在x0的某个邻域内f连续。
则由于区间的左端点都满足f(x)>x并且x0为区间左端点的极限，
所以f(x0)=(n→∞)limf(an)≥(n→∞)liman=x0，又不存在x使得f(x)=x，所以f(x0)>x0.；
同理可得f(x0)<x0.得到f(x0)<x0<f(x0)，矛盾！
ii)若x0是间断点，设他属于某个连续区间，且x0是该连续区间的右端点，则f在x0处左连续。
同上面的分析可以得到f(x0)=(n→∞)limf(an)≥(n→∞)liman=x0，f(x0)>x0。
因为{bn}单调递减且收敛至x0，所以对任意小的ε>0,存在正整数N，对任意n>N，有
f(bn)<bn<x0+ε<f(x0)+ε，令ε→0+，则有(n→∞)limf(bn)≤f(x0)。
另一方面由于{bn}单调递减且收敛至x0，x0是跳跃间断点，故有
(n→∞)limf(bn)=(x→x0+)limf(x)>f(x0)。
结合前面可知f(x0)≥(n→∞)limf(bn)>f(x0),矛盾！
综上所述，可知反证法的假设“不存在[a,b]中的点x使得f(x)=x”不成立，结论得证。