Question

高等代数理论基础22：线性相关性

Answer 1

定义：若 ,使 则称向量 为向量组 的一个线性组合

也称 可经向量组 线性表出

任一n维向量 都是向量组 的一个线性组合

向量 称为n维单位向量

注：零向量是任一向量组的线性组合

定义：若向量组 中每个向量 都可经向量组 线性表出,则称向量组 可经向量组 线性表出,若两个向量组互相可线性表出,则称它们等价

注：若向量组 可经向量组 线性表出,向量组 可经向量组 线性表出,则向量组 可经向量组 线性表出

证明：

向量组等价的性质：

1.自反性：每个向量组都与它自身等价

2.对称性：若向量组 与 等价,那向量组 也与 等价

3.传递性：若向量组 与 等价, 与 等价,则向量组 与 等价

定义1：若向量组 中有一个向量可以由其余的向量线性表出,则向量组 称为线性相关的

注：任一包含零向量的向量组一定是线性相关的

定义2：若有数域P中不全为零的数 使 ,则称向量组 线性相关

注：向量 构成的向量组线性相关即

证明：定义1定义2在 时一致

证明：

性质：若一向量组的一部分线性相关,则这个向量组线性相关

证明：

定义1：若没有不全为零的数 使 ,则称向量组 线性无关

定义2：若由 可推出 ,则称向量组 线性无关

注：

1.若一向量组线性无关,则它的任一非空部分组线性无关

2.n维单位向量 组成的向量组线性无关

证明：

判别一个向量组 是否线性相关

即判别方程 有无非零解

对应齐次线性方程组 有无非零解

向量组 线性无关的充要条件为齐次线性方程组只有零解

注：若向量组 线性无关,则在每个向量上添一个分量得n+1维向量组 也线性无关

定理：给定两个向量组 与 满足：

1. 可经 线性表出

2.

则 线性相关

证明：

几何意义：

1.在三维空间,若s=2,可以由 线性表出的向量显然在 所在平面上,它们共面, 时,它们线性相关,两个向量组 与 等价意味着它们在同一平面上

推论1：若向量组 可经向量组 线性表出,且 线性无关,则

推论2：任意n+1个n维向量必线性相关

证明：

推论3：两个线性无关的等价向量组必含有相同个数的向量

定义：若一向量组的一个部分组是线性无关的,且从这向量组中任意添一个向量,所得的部分向量组都线性相关,则称该部分组为极大线性无关组

注：

1.一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身

2.向量组的极大线性无关组不是唯一的

3.一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的

4.含非零向量的向量组一定有极大线性无关组,且任一无关的部分组都可扩充成一个极大线性无关组

5.全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组

性质：任意一个极大线性无关组与向量组本身等价

证明：

定理：一向量组的极大无关组都含有相同个数的向量

定义：向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩

注：

1.一向量组线性无关的充要条件为它的秩与它所含向量个数相同

2.等价的向量组必有相同的秩

3.全部由零向量组成的向量组秩为零

给定方程组

各个方程所对应的向量分别为 , , ,

设方程

对应向量为

则 是 的线性组合 当且仅当

即方程 是方程 的线性组合,显然方程组 的解一定满足

设方程组

各个方程所对应的向量分别为

若 可经 线性表出,则方程组 的解是方程组 的解

当 与 等价时两个方程组同解