Question

数学放缩这步没看懂，如图？

Answer 1

设q=n^(1/n)，则图中划线部分的分母为：1+q+q²+...+qⁿ⁻¹>q+q²+...+qⁿ⁻¹

令S=q+q²+...+qⁿ⁻¹，则2S=(q+qⁿ⁻¹)+(q²+qⁿ⁻²)+...+(qⁿ⁻²+q²)+(qⁿ⁻¹+q)

其中每个括号内q的指数和都为n，即满足qᵏ+qⁿ⁻ᵏ

根据不等式a+b≥2√(ab)，可得：qᵏ+qⁿ⁻ᵏ>2√qⁿ

所以2S>2√qⁿ+2√qⁿ+...+2√qⁿ=2(n-1)√qⁿ

即S>(n-1)√qⁿ=(n-1)√n>1/2·(n-1)√n

分母大于1/2·(n-1)√n，所以原式<(n-1)/[1/2·(n-1)√n]=2/√n

根据上述推导过程，分母上的1/2其实可以省略，也即可以放缩为1/√n

还有一种直接利用n项均值不等式将n^(1/n)-1放缩为2/√n的方法，如图所示：