Question

如何判断矩阵对角化条件？

Answer 1

判断矩阵是否可对角化方法：

1、先求特征值，如果没有相重的特征值，一定可对角化。

2、如果有相重的特征值λk，其重数为k，那么你通过解方程（λkE-A）X=0得到的基础解系中的解向量若也为k个，则A可对角化，若小于k，则A不可对角化，此外，实对称矩阵一定可对角化。

判断方阵是否可相似对角化的条件：

(1)充要条件：An可相似对角化的充要条件是：An有n个线性无关的特征向量。

(2)充要条件的另一种形式：An可相似对角化的充要条件是：An的k重特征值满足n-r(λE-A)=k。

(3)充分条件：如果An的n个特征值两两不同，那么An一定可以相似对角化。

(4)充分条件：如果An是实对称矩阵，那么An一定可以相似对角化。

n阶单位矩阵的所有特征值都是1，但是它仍然有n个线性无关的特征向量，因此单位矩阵可以对角化。