Question

求∫（0到π/2） xf的积分？

Answer 1

本题你漏了积分限，积分限应是[0--->π]

∫[0--->π]

xf(sinx)dx

做变量代换，令x=π-u，则dx=-du，u：π--->0

=-∫[π--->0]

(π-u)f(sin(π-u))du

=∫[0--->π]

(π-u)f(sinu)du

=∫[0--->π]

πf(sinu)du-∫[0--->π]

uf(sinu)du

定积分可随便换积分变量

=∫[0--->π]

πf(sinx)dx-∫[0--->π]

xf(sinx)dx

将-∫[0--->π]

xf(sinx)dx移动等式左边与左边合并得

2∫[0--->π]

xf(sinx)dx=π∫[0--->π]

f(sinx)dx

即：∫[0--->π]

xf(sinx)dx=π/2∫[0--->π]

f(sinx)dx将-∫[0--->π]

xf(sinx)dx移动等式左边与左边合并得

2∫[0--->π]

xf(sinx)dx=π∫[0--->π]

f(sinx)dx

即：∫[0--->π]

xf(sinx)dx=π/2∫[0--->π]

f(sinx)dx

积分的意义

实际操作中，有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值。要求简单几何形体的面积或体积，可以套用已知的公式。比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长×宽×高求出。

但如果游泳池是卵形、抛物型或更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积。物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个物理量（比如力）的累积效果，这时也需要用到积分。