Question

设f(x)在[0,1]上连续,在（0,1）内可导,且f(0)=0,|f'(x)|=

Answer 1

由f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,且f(0) = f(1).
根据Rolle定理,存在c∈(0,1),使f'(c) = 0.
考虑g(x) = f'(x)(x-1),有g(x)在[c,1]连续,在(c,1)可导,且g(c) = 0 = g(1).
根据Rolle定理,存在ξ∈(c,1),使g'(ξ) = 0,即有f"(ξ)(ξ-1)+2(ξ-1)f'(ξ) = 0.
而ξ < 1,于是f"(ξ) = 2f'(ξ)/(1-ξ).
Taylor公式是指带Lagrange余项的Taylor展式吗?是必须要用吗?
我目前还没有想出来,毕竟Taylor展式中ξ只出现在一个地方.
其实Taylor展式也是用中值定理证的,而且中值定理也可以视为一阶的Taylor展式.