Question

多元函数积分在生活中的应用

Answer 1

类似于一元函数的牛顿-莱布尼兹公式，二重积分的计算将二重积分和累次积分联系在了一起。

定理（矩形区域的二重积分）：设 f(x,y) 在矩形区域 D=[a,b]×[c,d] 上可积，且对每个 x∈[a,b] ，积分 ∫cdf(x,y)dy 存在，则累计积分 ∫abdx∫cdf(x,y)dy 也存在，且：

∬Df(x,y)dxdy=∫abdx∫cdf(x,y)dy

同理，设 f(x,y) 在矩形区域 D=[a,b]×[c,d] 上可积，且对每个 y∈[c,d] ，积分 ∫abf(x,y)dx 存在，则累计积分 ∫cddy∫abf(x,y)dx 也存在，且：

∬Df(x,y)dxdy=∫cddy∫abf(x,y)dx

特别的，当 f(x,y) 在矩形区域 D=[a,b]×[c,d] 上连续时：

∬Df(x,y)dxdy=∫abdx∫cdf(x,y)dy=∫cddy∫abf(x,y)dx

x 型区域和 y 型区域：对于一般区域，通常可分解为 x 型区域和 y 型区域来进行计算。