Question

设函数f(x)=ax³+bx²-3a²x+1(a,b∈R),在x=x1,x=x2处取得极值？

Answer 1

（1）取f(x)的导数f‘（x）=3x^2+2bx-3
f(x)在x1,x2处有极值,则 f'(x)=0存在两个实数解
由韦达定理 x1+x2=-b/3,x1*x2=-1
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=4 ,得b=0
（2）取f(x)的导数f‘（x）=3ax^2+2bx-3a^2
f(x)在x1,x2处有极值,则 f'(x)=0存在两个实数解,
因为a＞0,由韦达定理 x1+x2=-b/3a,x1*x2=-a
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=4 ,
36a^3-36a^2+b^2=0 （1）
且△=4b^2+36a^3＞0 （2）
将（1）式带入（2）式整理得a^2*(4-3a)＞0
因为a＞0,所以0＜a＜3/4,10,f(x)的导数为f(x)’=3ax²+2bx-3a²，有2个极值，则a≠0，
令f(x)’=0，则x=（-2b±根号下（4b²+36a³））/6a，就是二元一次方程的通解，
|x1-x2|=根号下（4b²+36a³）/|3a|=2
（1）若a=1，代入上式，解得b=0
（2）若a＞0，根号下（4b²...,1,设函数f(x)=ax³+bx²-3a²x+1(a,b∈R),在x=x1,x=x2处取得极值,且|x1-x2|=2
（1）若a=1,求b的值
（2）若a＞0,求a,b的关系,及其a的取值范围?