Question

什么是收敛数列？

Answer 1

收敛数列是指：设数列{Xn}，如果存在常数a，那么对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称为数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列。

收敛数列与其子数列间的关系为：子数列也是收敛数列且极限为a恒有Xn|<M若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。

收敛数列的推论为：

无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。如果数列｛Xn}收敛于a，且a>0（或a<0），那么存在正整数N，当n>N时，都有Xn>0（或Xn<0）。

Answer 2

设数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列
折叠有界性
定义：设有数列xn , 若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn|<M成立，则称数列xn有界。
定理1：如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界
，不一定收敛；数列发散不一定无界。
数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件
保号性　
如果数列{Xn}收敛于a，且a>0（或a<0），那么存在正整数N，当n>N时，都有Xn>0（或Xn<0）。
折叠收敛数列与其子数列间的关系
子数列也是收敛数列且极限为a恒有Xn|<M
若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。

Answer 3

收敛数列就是越来越小的等差数列。