Question

求证（1-a）b,（1-b）c,（1-c）a中至少有一个不大于1/4

Answer 1

反证法。
假设：三个都大于1/4，则：
(1－a)b>1/4
(1－b)c>1/4
(1－c)a>1/4
则：
√[1－a)b]>1/2
√[(1－b)c]>1/2
√[(1－c)a]>1/2
三个式子相加，得：√[(1－a)b]＋√[(1－b)c]＋√[(1－c)a]>3/2
-----------------(1)
考虑到：[(1－a)＋b]/2≥2√[(1－a)b]，即：
√[(1－a)b]≤[(1－a)＋b]/2
同理，有：
√[(1－b)c]≤[(1－b)＋c]/2
√[(1－c)a]≤[(1－c)＋a]/2
三个式子相加，得：
√[(1－a)b]＋√[(1－b)c]＋√[(1－a)c]≤[(1－a)＋b]/2＋[(1－b)＋c]/2＋[(1－c)＋a]=3/2
------(2)
比较(1)和(2)，得：3/2<3/2
矛盾，从而假设错误。
所以，(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a中至少有一个不大于1/4