裂项相消求和
关于裂项相消求和如下：
利用列项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面剩两项，再就是通项公式列项后，有时需要调整前面的系数，使列项前后等式两边保持相等。
若是{a n }等差数列，则)11.(1111++-=n n n n a a d a a ,)11.(2112；2n ++-=n n n a a d a a （2）1；1111+-=+n n n n ）（ （3）)11(1)(1k n n k k n n +-=+
（4）)121121(2112)121+--=+-n n n n ）（（ （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n （6）n n n n -+=++111（7）)(11n k n k k n n -+=++
已知数列的前n 项和为， ．求数列的通项公式；设，求数列的前n 项和为．[解析]时,②①②得:即3分在①中令, 有, 即，5分故对
已知{a n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n，S4=2S2+8．（Ⅰ）求公差d的值；（Ⅰ）若a1=1，设T n是数列{}的前n项和，求使不等式T n≥对所有的nⅠN*恒成立的最大正整数m的值；
[解析]（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，Ⅰ S4=2S2+8，即4a1+6d=2(2a1+d) +8，化简得：4d=8，解得d=2．4分（Ⅰ）由a1=1，
d=2，得a n=2n-1，5Ⅰ=．6分Ⅰ T n===≥，8分又Ⅰ 不等式T n≥对所有的nⅠN*恒成立，Ⅰ ≥，10分化简得：m2-5m-6≤0，解得：-1≤m≤6．Ⅰ m的最大正整数值为6．12
已知各项均不相同的等差数列{a n}的前四项和S4=14，且a1,a3,a7成等比数列.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅰ)设T n为数列的前n项和，求T2 012的值.
[答案] (Ⅰ)设公差为d，由已知得(3分)解得d=1或d=0(舍去),Ⅰa1=2. (5分)故a n=n+1. (6分)(Ⅰ)==-,(8分)ⅠT n=-+-+-=-=. (10分)ⅠT2 012=. (12分)
已知数列{a n}是等差数列,-=8n+4，设数列{|a n|}的前n项和为S n，数列的前n项和为T n.求数列{a n}的通项公式;求证:≤T n<1.
[答案] (1)设等差数列{a n}的公差为d，则a n=a1+(n-1)d. (2分)Ⅰ-=8n+4,Ⅰ(a n+1+a n)(a n+1-a n)=d(2a1-d+2nd)=8n+4.当n=1时,d(2a1+d)=12;当n=2时,d(2a1+3d)=20.解方程组得或(4分)
