Question

定义在R上的函数f(x)满足:对任意实数m,n,都有f(m+n)+f(m-n)=2f(m)f(n).

Answer 1

解1由f(m+n)+f(m-n)=2f(m)f(n)
令n=0
则f(m+0)+f(m-0)=2f(m)f(0).
即2f(m)=2f(m)f（0）
即2f(m)(1-f（0））=0
即f（0）=1
在令m=0,n=-x代入
得f(0+（-x))+f(0-(-x))=2f(0)f(-x)
即f（-x）+f(x)=2f（-x）
即f（-x）=f（-x）
故f(x)是偶函数
2函数f(x)在【0,+∞）上是增函数,且f(x)是偶函数
且f(x²-3x+1)＜f(5)
得-5＜x²-3x+1＜5
即x^2-3x-5＞0
x^2-3x-4＜0
即x＞（3+√29）/2或x＜（3-√29）/2
-1＜x＜4
即（3+√29）/2＜x＜4
故f(x²-3x+1)＜f(5)的解集为{x/（3+√29）/2＜x＜4}