Question

单摆定理

Answer 1

分类: 理工学科
问题描述:

谁知道单摆定理，就是周期与摆长的关系的那个，告诉一下，谢谢！

解析:

根据F向=MV^2/R或MgΔH=MV^2/2来算速度.

形异质同的单摆物理模型的周期

单摆由一根不可伸长的细线，系一可视为质点的摆球构成。显

然，它是一种抽象化了的理想模型。当单摆振动时，其回复力由重

力沿圆弧切线方向的分力提供，如图1所示。当单摆的最大摆

角时，由于

（x为振子相对平衡位置0的位移大小，为单摆的摆长）。考虑到回

复力的方向与位移的方向相反，有

即此时单摆做简谐振动，其振动周期

对于形异质同的单摆模型，由于回复力具有相同的规律，其周期公

式也具有相同的形式，其中为等效摆长，为等效重力

加速度。

一、等效摆长的计算

单摆的运动轨迹点是一小段圆弧，其轨道半径R与等效摆长相

等，即=R。对于形异质同的单摆物理模型，不管有无“悬点”，

只要搞清了圆弧轨道的半径R，单摆的周期即可用计算。

例一：如图2为一双线摆，摆球由两根长度均为的细线悬挂在

天花板上，且悬线与水平方向的夹解为，求摆球垂直于纸面做简

谐振动的周期？如果左侧摆长度L与右侧不相等，且，结

果又怎样？

分析：无论在左右两侧摆线是否相等，只要，单摆圆弧

轨道半径，故振动周期。

例二，如图3为一摆长为的单摆，悬点0的正下方距悬点h处有

一颗钉子。当把摆球向左偏离竖直线很小的角度释放，求摆球的振

动周期。

分析：释放摆球后，由于摆球在一个振动周期内都是做圆弧运动。

一个圆弧的半径为，一个为，且最大摆角很小，故

，

即

例三，如图4，在光滑的水平导轨上有一质量为m的小车（可视

为质点），小车上用长为的细绳连一质量也是m的摆球。现使摆

球偏离竖直方向很小的角度从静止释放，求单摆的振动周期。

分析：小车和摆球在水平方向不受力，共质量中心的0的水平位置不

变；竖直方向的位移的的最大值为，因很小可忽略，

故摆球可认为绕0点做简谐振动，其周期

例四：如图5为一半径为R的光滑凹槽，现将一半径为为r的小球

稍稍从偏离最低点的位置释放，求往复运动的周期。

分析：小球做往复运动的回复力与单摆振动的回复力均为重力沿圆

弧切线方向的分力，其运动与摆长为R-r的单摆振动等效，其周期

二、等效重力加速度的计算

质同形异的单摆，其回复力总可以写作，其中

即为等效重力加速度，在数值上等于单摆相对于“悬点”静止时

摆线对摆球的拉力与摆球的质量的比值，即。

例五：如图6-（a）和图6-（b）所示，在竖直向下和水平向右的

匀强电场中，各有一质量为m，电量为+q的带电不球，用摆长为的

细线构成一个单摆。已知电场强度均为E。求单摆振动的周期。

分析：当摆球相对于悬点静止时，摆球均处于平衡状态，其受力分

析如图6-（a）和图6-（b）所示。

在图6-（a）中，

在图6-（b）中，

例六：如图7-（a）所示，将一摆长为的单摆置于倾角为的光

滑斜面上，求单摆的振动周期。

分析：让单摆相对于悬点静止，摆球处于平衡状态，其受力分析平

面图如图7-（b）显然有， 其振动周期

例七：如图8，在倾角为的光滑斜面上，有一小车沿斜面自由

滑下。小车的顶棚悬一摆长为的单摆，求此时单摆的振动周期。

分析：当小车自由下滑时，摆球相对于悬点静止时，悬线必和斜面

垂直，此时，重力沿斜面方向的分力产生和小车相同的加速

度垂直于斜面方向的分力与悬线的拉力平衡，即

， 其周期

必须注意的是在利用时，的计算不能将振动过程中始

终沿摆线方向的力包括在内。因为唯一决定单摆振动周期的只是沿

圆周切线方向的回复力，始终沿摆线方向的力不会影响单摆的振动

快慢。例如，在图9中，一摆长为，质量为m的带电小球构成的单

摆，若在悬点处有一个点电荷，单摆的回复力仍为，故周期

不变。