Question

求微分方程y″-3y′+2y=2xex的通解．

Answer 1

解题思路：求解二阶常系数非齐次线性微分方程的常用方法是：先求出对应齐次方程的通解，然后求出非齐次微分方程的一个特解，最后利用二阶常系数非齐次微分方程解的结构写出通解．

对应齐次方程y″-3y′+2y=0的特征方程为
λ2-3λ+2=0，
解得特征根为λ1=1，λ2=2．
所以齐次微分方程y″-3y′+2y=0的通解为 y1=C1ex+C2e2x．
因为非齐次项为 f（x）=2xex，且 a=1 是特征方程的单重根，
故设原方程的一个特解为y*=x（ax+b）ex，
代入原方程得：
a=-1，b=-2，
故特解为y*=x（-x-2）ex．
所以原方程通解为
y=y1+y*=C1ex+C2e2x+x（-x-2）ex．

点评：
本题考点： 二阶常系数非齐次线性微分方程求解；微分方程的解的结构．

考点点评： 本题考察了利用微分方程解的结构求解二阶常系数非齐次微分方程通解的方法，是一个基础题型，需要熟练掌握．