Question

含参数的二次方程根的分布问题

Answer 1

题1 设 ,方程 有两个不同的解,求实数a的取值范围.
原方程可化为 .
令 ,则方程 在 有一个解.
又令 ,则有 或 .
这是文〔1〕介绍含参数二次方程求参数取值范围的一道例题,上述错解在一些数学期刊中流传甚广,有必要予以剖析纠正.
分析：上这解答有两处常见错误.首先,对于 ,当 时,在 上有两个不同的解 ,但当 时仅有一解 ；其次,包含三种情况：
① ,此时方程 在（0,1）上有且仅有一个解；
② ,此时方程 在 上至少有一解 ,若方程仅有一解 或另一解 时符合题意,但当方程在 上另有一解时,原方程有三个（此时另一解为 ）或四个解（此时另一解为 ）,显然不合题意；
③ ,此时方程 在 上至少有一解 ,当方程在 上另有一解时,原方程有三个解不合题意,当方程仅有一解 或另一解 时,原方程在 仅有一解 ,均不合题意.因此,本题的正确解法应作如下改正.
仿上,要使原方程在 有两个不同的解,
只要方程 在 上有惟一解,则有 或 .
解得 或 .
又当 时,,此时方程 有两个解 ,原方程在 有两个不同的解 符合题意.
当 时,,此时方程 有两个解 ,原方程在 有三个不同的解 ,∴ 不合题意,∴实数 的取值范围是 或 .
评注：在解答含参数二次方程根的分布问题时,往往通过把方程转化为函数的方法,再考虑二次函数图像与x轴交点的位置关系,直观易懂,便于掌握.但对于区间端点根的情况,要注意分析其实质,不能盲目求解,导致类似前面的错误.
题2 集合 ,求实数m的取值范围.
（1）若 在 内有且只有一个解,则 ,即 .
（2）若 在 内有两个解,则有
即
解得 .
由（1）、（2）知 .
分析：事实上,以上解法也是不完整的,应考虑方程 恰有一解为2的情形,即补上（3） 才算完整.
下面是一些数学资料中常见的一道习题及其所谓的正确
题3 若关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围.
设 ,则 ,设 ,
原方程有实根的充要条件是方程 在 有实根,
即函数 图像与t轴在正半轴上有交点,有以下两种情况：
（1）当 有两个正根时,由 得 ,
（2）当 有一个正根一个负根时,由 ,得 .
综合得 且 .
上述解答的错误也在于,对区间端点的情况考虑不周,当方程 有一根为零时,由 ,知 ,易得方程另一根为 ,显然此时原方程有实根,所以实数a的取值范围是 .