Question

数列极限和函数极限有什么关系吗？

Answer 1

函数极限与数列极限的关系

数列其实是一种特殊的函数，所以，在定义上，数列的极限和函数的极限极为相似，因而他们具有相类似的性质。要想完美解答两者所涉及的问题，必须深刻理解两者的定义，不妨对比一下二者的定义，列举一下两者的性质以及两者的判别法则~这有助于加深记忆~ 数列可以看作是定义在正整数集上的函数，即看作是函数的特例，这样数列的极限也就可以归入函数的极限。

1、例如函数arctan(1/x)当x趋向于1时的极限是π/4，那么对于任何一个以1为极限的数列a(n)，当n趋向于∞时，

arctan[1/a(n)]的极限一定都是π/4;但是反过来则不然，例如还是这个函数，数列{1/n}的极限为0，当n趋向于∞时，

arctan[1/(1/n)]=arctan(n)极限是π/2，我们不能说当x趋向于0时，这个函数的极限是π/2，事实上数列{-1/n}的极限也是0，但当n趋向于∞时，arctan[1/(-1/n)]=arctan(-n)极限是-π/2，即函数arctan(1/x)当x趋向于0时，极限是不存在的。

2、数列可以看作是定义在正整数集上的函数，即看作是函数的特例，这样数列的极限也就可以归入函数的极限。

例如函数arctan(1/x)当x趋向于1时的极限是π/4，那么对于任何一个以1为极限的数列a(n)，当n趋向于∞时，arctan[1/a(n)]的极限一定都是π/4;但是反过来则不然，例如还是这个函数，数列函数极限与数列极限的关系
{1/n}的极限为0，当n趋向于∞时，arctan[1/(1/n)]=arctan(n)极限是π/2，我们不能说当x趋向于0时，这个函数的极限是π/2，事实上数列{-1/n}的极限也是0，但当n趋向于∞时，

arctan[1/(-1/n)]=arctan(-n)极限是-π/2，即函数arctan(1/x)当x趋向于0时，极限是不存在的。

Answer 2

一、两者之间的联系

虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的，但是两者是有联系的。海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系，从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁。

它指出函数极限可化为数列极限，反之亦然。在极限论中海涅定理处于重要地位。有了海涅定理之后，有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极限的定理予以证明。

二、两者之间的区别

1、从研究的对象看区别：数列极限是函数极限的一种特殊情况，数列是离散型函数。 而函数极限研究的对象主要是具有（哪怕局部具有）连续性的函数。

2、取值方面的区别：数列中的下标n仅取正整数，而对函数而言其自变量x取值为实数。函数极限f(X)与X的取值有关，而数列极限Xn则只是n趋向于无穷是Xn的值。

3、从因变量趋近方式看区别：数列趋近于常数的方式有三种：左趋近，右趋近，跳跃趋近。而函数没有跳跃趋近，函数极限的几种趋近形式：x趋于正无穷大；x趋于负无穷大；x趋于无穷大；x 左趋近于x0；x右趋近于x0 ; x趋近于x0，并且是连续增大。而函数极限只是n趋于正无穷大一种，而且是离散的增大。

扩展资料：

函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。函数极限可以分成x→∞,x→+∞,x→-∞,x→Xo，而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。问题的关键在于找到符合定义要求的，在这一过程中会用到一些不等式技巧，例如放缩法等。

常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。

参考资料来源：百度百科-数列极限

参考资料来源：百度百科-函数极限