Question

样本方差期望为什么等于总体方差。

Answer 1

样本方差的期望等于总体方差，证明如下：

设总体为X，抽取n个i。i。d。的样本X1，X2，...，Xn，其样本均值为Y = (X1+X2+...+Xn)/n。

其样本方差为S =( (Y-X1)^2 + (Y-X2)^2 + ...+ (Y-Xn)^2 ) / (n-1)。

为了记号方便，我们只看S的分子部分，设为A，则EA=E( n * Y^2 - 2 * Y * (X1+X2+...+Xn) + (X1^2 + X2^2 +...+ Xn^2))=E( (X1^2 + X2^2 +...+ Xn^2) - n * Y^2 )。

注意 EX1 = EX2= EXn = EY = EX。

VarX1 = VarX2 =  VarXn = VarX = E(X^2) - (EX)^2。

VarY = VarX / n 。

所以E A = n(VarX + (EX)^2) - n * (VarY + (EY)^2)= n(VarX + (EX)^2) - n * (VarX/n + (EX)^2)= (n-1) VarX，所以 E S = VarX；得证。

解释：

1、在概率分布中，设X是一个离散型随机变量，若E{[X-E（X）]^2}存在，则称E{[X-E（X）]^2}为X的方差，记为D（X），Var（X）或DX，其中E（X）是X的期望值，X是变量值，公式中的E是期望值expected value的缩写，意为“变量值与其期望值之差的平方和”的期望值。

2、平方根是一个凹函数，因此引入负偏差（由Jensen不等式），这取决于分布，因此校正样本标准偏差（使用贝塞尔校正）有偏差。 标准偏差的无偏估计是一个技术上涉及的问题，尽管对于使用术语n-1。5的正态分布，形成无偏估计。

3、研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的。那么，用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到E[|X-E[X]|]能度量随机变量与其均值E（X）的偏离程度。但由于上式带有绝对值，运算不方便，通常用量E[（X-E[X]）2] 这一数字特征就是方差。