Question

已知椭圆Ω的离心率为[1/2]，它的一个焦点和抛物线y2=-4x的焦点重合．？

Answer 1

解题思路：（1）设椭圆方程，抛物线y 2=-4x的焦点是（-1，0），从而得到c=1，再由离心率，能求出椭圆Ω的方程．
（2）①设切点坐标为A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），直线l上一点M的坐标（4，t），则可得切线方程，由此推导出直线AB的方程是x+[t/3]y=1，从而可得结论；
②将直线AB的方程x+[t/3]y=1与椭圆方程联立，求出|AC|，|BC|，利用韦达定理，即可得到结论．
（1）设椭圆方程为
x2
a2+
y2
b2=1（a＞b＞0），
抛物线y2=-4x的焦点是（-1，0），故c=1，
又∵[c/a]=[1/2]，∴a=2，b=
a2-c2=
3，
∴所求的椭圆Ω的方程为
x2
4+
y2
3=1．
（2）①证明：设切点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），直线l上一点M的坐标（4，t），
则切线方程分别为
x1x
4+
y1y
3=1，
x2x
4+
y2y
3=1，
∵两切线均过M，即x1+
t
3y1=1，x2+
t
3y2=1，
即点A，B的坐标都适合方程x+[t/3]y=1
而两点之间确定的唯一的一条直线，
∴直线AB的方程是x+[t/3]=1，
对任意实数t，点（1，0）都适合这个方程，
故直线恒过定点C（1，0）．
②将直线AB的方程x+[t/3]y=1与椭圆方程联立，可得（
t2
3+4）y2-2ty-9=0
∴y1+y2=
6t
,5,已知椭圆Ω的离心率为[1/2]，它的一个焦点和抛物线y 2=-4x的焦点重合．
（1）求椭圆Ω的方程；
（2）若椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0) 上过点（x 0，y 0）的切线方程为 x 0 x a 2 + y 0 y b 2 =1 ．
①过直线l：x=4上点M引椭圆Ω的两条切线，切点分别为A，B，求证：直线AB恒过定点C；
②是否存在实数λ使得|AC|+|BC|=λ•|AC|•|BC|，若存在，求出A的值；若不存在，说明理由．