Question

一道微积分数学题的求解

数列n根号n，也就是第一项是1，第二项是根号2，第三项是3根号3，第四项是4根号4，。。。以此类推，问：这一个数列中最大的一项是哪一项？？ 答案是第三项：3根号3，但是我不知道怎么解出来，麻烦高手给我一个较详细的解释（貌似要构造什么函数的，向高手求解！！~~~）

Answer 1

通项是n的1/ n次方设y=n的1/ n 记做y=n^(1/n)
㏑y=㏑n/n 转化为求㏑y的最大值
下面构建函数
设t=㏑x/x
t′=(1-㏑x)/x²
可得x=e时t有最大值
所以考虑e附近的值2 和 3
自己算！

Answer 2

f(x)=x^(1/x)
a1=f(1)
a2=f(2)
...
an=f(n)
之所以要构造函数是因为函数可以求导，数列是离散的不能求导
对f（x）求导判断增减性
f（x）=exp{lnx/x}
f'(x)=exp{lnx/x}*(lnx/x)'
=exp{lnx/x}*(1-lnx)/x^2
显然exp{lnx/x}/x^2恒>0
若f'(x)=0 则 1-lnx=0=>x=e
x<e时f'(x)<0 单调减
x>e时f'（x）>0单调增
所以f（x）在x=e处区最小值

回到数列 e介于 2.3之间
比较f(2),f(3)即可得到结论

Answer 3

额，很简单，建立一个f（x）=x根号x,g(x)=Ln(f(x))，对g(x）求导，判断其单调区间，可以用e^x函数的性质说明f(x)与g(x)单调性一致，再比较两个靠近极小值的点得出答案

Answer 4

三、1.指数的字太小，看不清。
用公式：∂z/∂x=∂z/∂u*∂u/∂x+∂z/∂v*∂v/∂x,
余者类推。可以吗？

Answer 5

。。怎么可能么 明显越来越大