Question

已知圆C经过坐标原点，且与直线x-y+2=0相切，切点为A（2，4）．

Answer 1

解题思路：（1）解法一：求出直线AC的方程，再求出线段OA的垂直平分线方程，联立方程组求出圆心C的坐标，可得圆的半径，
从而写出C的方程．
解法二：设圆C的方程为（x-a） 2+（y-b） 2=r 2，根据点A和点O在圆上，圆心到切线的距离等于半径建立方程组，
求出a、b、r的值 从而求出C的方程．
（2）解：设直线l的方程为y=x+m，M（x 1，y 1），N（x 2，y 2），把直线方程代入圆的方程利用根与系数的关系求出
x 1+x 2和x 1•x 2的值，代入 的解析式化简为（m-6） 2．再根据圆心到直线的距离小于半径求出m的范围，即可得到（m-6） 2的距离．

（1）解法一：圆的圆心为C，依题意得直线AC的斜率KAC=-1，
∴直线AC的方程为y-4=-（x-2），即x+y-6=0．
∵直线OA的斜率KOA=[4/2]=2，∴线段OA的垂直平分线为y-2=−
1
2（x-1），即x+2y-5=0．
解方程组

x+y−6＝0
x+2y−5＝0 得圆心C的坐标为（7，-1）．
∴圆C的半径为r=|AC|=
(7−2)2+(−1−4)2=5
2，
∴圆C的方程为（x-7）2+（y+1）2=50．
解法二：设圆C的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，
依题意得

(2−a)2+(4−b)2＝r2

|a−b+2|

2＝

点评：
本题考点： 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系．

考点点评： 本题主要考查两个向量数量积公式的应用，直线和圆的位置关系的应用，属于中档题．