Question

已知二次型f(x1,x2,x3)=（1-α）x1^3+（1-α）x2^3+2x3^2+2(1+α)x1x2的秩为2？

Answer 1

二次型的矩阵 A=
1-a 1+a 0
1+a 1-a 0
0 0 2
因为 r(A)=2
所以 0=|A|=2[(1-a)^2-(1+a)^2]=2*2*(-2a)=-8a
所以 a=0.
所以 A=
1 1 0
1 1 0
0 0 2
A的特征值为 2,2,0
(A-2E)x=0 的基础解系为 a1=(1,1,0)^T,a2=(0,0,1)^T
Ax=0 的基础解系为 a3=(1,-1,0)^T
将a1,a2,a3单位化构成矩阵P=
1/√2 0 1/√2
1/√2 0 -1/√2
0 1 0
则 X=PY 是正交变换,f=2y1^2+2y2^2.,9,已知二次型f(x1,x2,x3)=（1-α）x1^3+（1-α）x2^3+2x3^2+2(1+α)x1x2的秩为2
1、求α的值 2、求正交变换x=Qy,将f(x1,x2,x3)化为标准型