Question

如何利用二重积分的几何意义求解空间立体的体积

Answer 1

利用二重积分的几何意义求解空间立体的体积如下：

通过二重积分的几何意义，我们知道，当f（x，y）>0时，二重积分Df（x，y）dxdy在几何上表示为以z=f（x，y）为曲顶，D为底的曲顶柱体的体积.因此，我们可以根据二重积分的几何意义计算空间立体的体积.在具体解题时。

我们可以通过画出空间立体图形找到被积函数f（x，y）和积分区域D，然后把二重积分化为累次积分计算，最终得到空间立体的体积.但是，这种解题方法的缺点是当空间立体的图形难以描绘时，就很难确定被积函数f（x，y）和积分区域D，而无法计算空间立体的体积。

围成立体体积的方程中只有一个含z的方程（z=0除外）在这种情形下，把只有一个含有z的方程，改写成z=f（x，y）（f（x，y）>0）的形式，那么二元函数z=f（x，y）就是该立体的顶，从而得到计算该立体体积的二重积分的被积函数就是f（x，y）

下面，我们确定积分区域，把不含z的方程在x0y直角坐标平面上围成的区域，记为D若D是有界区域，则D就是积分区域.若D是无界区域，则需进一步令含有z的方程（Z=0除外）中的z为0，从而得f（x，y）=0，方程f（x，y）=0与不含z的方程在x0y。

直角坐标平面上围成的区域必有界，这个激蔽有界区域就是积分区域。

二重积分的几何意义和数值意义。

1、几何意义

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负谈闷。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

例如二重积分，其中，表示的是以上半球面为顶，半径为a的圆为底面的一个曲顶柱体，这个二重积分即为半球体的体积。

2、数值意义

二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。如函数，其积分区域D是由所围成的区域。其中二重积分是一个常数，不妨设它为A。

对等式两端对D这个积分区域作二重定积分。故这个函数的具体表达式为：f（x，y）=xy+1/8，等式的右边就是二重积分数值为A，而等式最左边根据性质5，可化为常数A乘上积分区域的面积1/3，将含有二重积分的等式可化为未知数A来求解。